Algebraisk Geometri

Bruk av datamaskiner for å representere 2D og 3D geometrier er i stadig vekst. Imidlertid har denne utviklingen vært dominert av parametrisk representerte geometrier eller algebraisk representerte geometrier som plan, kule, kjegle, ellipsoide og torus. For disse typer geometrier nyttes vekselvirkning mellom parametrisk og algebraisk representasjon som et effektivt verktøy. For friformkurver og flater med parametrisk og algebraisk grad høyere enn to er kombinasjonen av disse representasjonsformer svært begrenset. Dette skyldes flere forhold:

• En parametrisk tensor produktflate av grad (n,m) har en algebraisk grad 2nm. Dette betyr at en bikubisk flate ( grad (3,3)). Har algebraisk grad 18. Erfaringsmessig er polynomer av grad 18 tunge å håndtere på datamaskin.
• Mens de parametriske geometrier beskriver et legeme lokaliser i en avgrenset del av rommet, beskriver algebraisk geometri fortsettelsen av geometrien i det uendelige.
• Teorien innen algebraisk geometri er i hovedsak utviklet med basis i det komplekse plan og det projektive rom, mens dagens behov for geometri på datamaskin er rettet mot reelle tall og det affine rom.

Som punktene over viser er det et stort gap mellom utviklingen innen algebraisk geometri og de behov en har for å representere geometri på datamaskin. I sin doktoravhandling i 1984 påpekte Thomas W. Sederberg det store potensialet ved kombinasjonen av parametrisk og algebraisk geometri. I starten av 90-tallet startet Tor Dokken ved SINTEF Anvendt matematikk på utviklingen av det som i dag kalles Approksimativ Algebraisk geometri. Dette er en ny angrepsvinkel som angriper algebraisk geometri fra et approksimasjonsteoretisk ståsted. Resultatene ble først presentert i Dokkens doktoravhandling i 1997. Med basis i denne er de EU-støttede forskningsprosjektene GAIA og så GAIA II bygget opp. Der søker 7 europeiske forskningsmiljøer å skape ny kunnskap og praktiske løsninger på utfordringer innen datasystemer for representasjon av geometri.

Kontakt: Tor Dokken